Критерий Байеса - правило, в соответствии с которым стратегия решений выбирается таким образом, чтобы обеспечить минимум среднего риска. Применение критерия Байеса целесообразно в случае, когда система распознавания многократно осуществляет распознавание неизвестных объектов или явлений в условиях неизменного признакового пространства, при стабильном описании классов и неизменной платежной матрице.
Минимум риска, усредненного по множеству решений задачи распознавания неизвестных объектов, обеспечивается тогда, когда решения о принадлежности объектов классу Ω 1 и Ω 2 принимаются в соответствии со следующим правилом: если измеренное значение признака у данного объекта расположено в области R 1 то объект относится к классу Ω 1 если в области R 2 - к классу Ω 2
Стратегию, основанную на этом правиле, называют байесовской стратегией, а минимальный средний риск - байесовским риском.
Использование другой стратегии, отличной от байесовской, сопряжено с увеличением среднего риска. Пусть, например, используется некоторая стратегия А, в соответствии с которой решение о принадлежности объекта классу Ω 1 принимается тогда, когда измеренное значение признака х=х 0 <х А, и классу Ω 2 , когда х=х 0 >х А (рис. 4.2).
Разность среднего риска Rã А при подобной стратегии и байесовского риска Rã min в предположении, что с 11 =c 22 = 0, c 12 = c 1 и с 21 = с 2 , составит
В области r 2 ÎR 2 .f 2 (x)>l 0 f 1 (x). Значит, Rã A -Rã min >0, т. е. Rã A >Rã min
При выборе стратегии В, в соответствии с которой принимается решение о принадлежности объекта классу Ω 1 если х<х B , и классу Ω 2 , если х>х B , разность средних рисков подобной и байесовской стратегии
В области Значит, Rã B -Rã min >0, т. е. Rã B >Rã min т. е.
Рис. 4.2
Байесовская стратегия может быть описана также следующим образом. Пусть в результате опыта установлено, что значение признака у распознаваемого объекта w составляет величину х=х 0 . Тогда условная вероятность принадлежности объекта классу Ω 1 (условная вероятность первой гипотезы в соответствии с теоремой гипотез или формулой Байеса)
а условная вероятность принадлежности объекта классу Ω 2 (условная вероятность второй гипотезы)
где - совместная плотность распределения вероятностей значений признака х по классам, в свою очередь величины - апостериорные вероятности, принадлежности распознаваемого объекта классам Ω 1 и Ω 2 , соответственно.
Условные риски, связанные с решениями wÎΩ 1 и wÎΩ 2 , соответственно
Система распознавания, основанная на байесовской стратегии, должна решать задачу с минимальным условным риском. Это значит, что предпочтение решению coeCli следует отдавать тогда, когда Подставим в это выражение значения определяемые (4.29). Тогда неравенства или определят, в каких условиях необходимо принять решение о том, что wÎΩ 1
Таким образом, байесовский подход к решению задачи распознавания состоит в вычислении условных апостериорных вероятностей и принятии решения на основании сравнения их значений. Именно такой подход обеспечивает минимум среднего риска и минимум ошибочных решений.
Если число классов больше двух и равно т, то апостериорная вероятность отнесения объекта к Ω-му классу будет
Когда объект характеризуется N признаками x j , j=1, ..., N и признаки распознаваемого объекта приняли значения x 1 = x 0 1 ; х 2 = х 0 2 ; ...; x N =x 0 N , вероятность того, что при осуществлении события a N =(x 0 1 , x 0 2 , ..., х 0 N) объект относится к i-му классу, равна
Рассмотрим другую форму записи байесовского критерия отнесения объекта к соответствующему классу. Пусть имеются классы Ω 1 и Ω 2 . Априорные вероятности появления объектов этих классов соответственно P(Ω 1) и Р(Ω 2), с 11 = с 22 = 0, c l 2 = c 1 и с 21 = с 2 . Известны также многомерные условные плотности распределения вероятностей значений признаков f 1 (х 1 ..., x N) и f 2 (х 1 ..., x N) по классам. Тогда условные вероятности ошибок первого и второго рода соответственно
Средний риск
Так как интеграл от плотности вероятности по областям R 1 и R 2 равен единице, то
Задача состоит в том, чтобы минимизировать значение среднего риска. Для этого необходимо так выбрать области R 1 и R 2 , чтобы интеграл в (4.34) принял наибольшее отрицательное значение. Это достигается тогда, когда подынтегральное выражение принимает наибольшее отрицательное значение и вне области R 1 не существует такой области, где подынтегральное выражение отрицательно, т. е. с 2 Р(Ω 2)f 2 (х 1 ..., x N) – c 1 P(Ω 1)f 1 (х 1 ..., x N)<0. Отсюда следует уже известное решающее правило. Распознаваемый объект w, признаки которого, как установлено в результате проведения экспериментов, равны x l = x 0 1 , х 2 = х 0 2 , ..., x N =x 0 N , относится к классу Ω 1 если
где - пороговое значение коэффициента правдоподобия.
В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется средний ожидаемый результат как сумма произведений вдоль строки результатов на их вероятности:
Лучшей по критерию Байеса считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:
Место критерия Байеса. Как следует из сути и альтернативных названий этого критерия, он наилучшим образом соответствует ситуации многократной повторяемости, когда лучший средний результат приведет к лучшему общему итогу. Если рассматриваемая ситуация выбора решения будет часто повторяться при неизменных условиях, то выбор наилучшей стратегии по критерию Байеса представляется наилучшим. В остальных случаях этот критерий разумно использовать лишь как ориентировочный.
Отметим, что только в этом критерии используются значения вероятностей состояний. В остальных критериях используются только значения выигрышей.
Применим критерий Байеса к нашему примеру.
Таким образом, по
критерию Байеса наилучшей является
стратегия
,
то есть средний лучший результат приносит
стратегия привлечения только финансовых
консультантов.
Если фирма-исполнитель постоянно выполняет аналогичные проекты для схожих заказчиков, то общий результат деятельности будет наилучшим при выборе именно третьей стратегии. Если такой заказ имеет разовый характер, то критерий Байеса является менее предпочтительным.
Критерий Вальда (Wald) (пессимизма, наибольшего худшего результата, максимина)
В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется наименьший достижимый результат как минимальный элемент в строке:
Лучшей по критерию Вальда считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:
Место критерия Вальда. Как следует из сути и альтернативных названий этого критерия, он наилучшим образом подходит для ситуации, в которой необходимо получить наименее «плачевный» результат в самом худшем случае, максимум минимального дохода или минимум максимальных потерь. Критерий соответствует пессимистично настроенному лицу, принимающему решения, когда для него страх проигрыша значительно важнее выигрыша. Выбирая стратегию по критерию Вальда мы можем твердо рассчитывать на полученный при ее определении результат даже при самом плохом стечении обстоятельств.
Применим критерий Вальда к нашему примеру.
Таким образом, по
критерию Вальда наилучшей является
стратегия
,
то есть при привлечении научных и
финансовых консультантов мы в самом
худшем случае получим наибольший
выигрыш.
Критерий оптимизма (максимакса, крайнего оптимизма)
В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется наибольший достижимый результат как максимальный элемент в строке:
Лучшей по критерию оптимизмасчитается та стратегия, для которой этот результат наибольший:
Место критерия оптимизма. Как следует из сути и названий этого критерия, он наилучшим образом подходит для ситуации, в которой игрок настроен крайне оптимистично и рассчитывает на наибольший успех. Критерий хорошо работает в случае, когда потери для игрока в рассматриваемой ситуации мало значимы. Он так же соответствует случаю, когда все стратегии во всех вариантах приводят к заметным выигрышам и можно «рискнуть» понадеяться на самый крупный из них.
Результат применения этого критерия бывает обычно заранее понятным. Как правило, этот критерий для анализа игр с природой не используется, а используется более «взвешенный» критерий Гурвица.
Применим критерий оптимизма к нашему примеру.
Таким образом, по
критерию оптимизма наилучшей является
стратегия
,
то есть наибольший возможный выигрыш
есть шанс получить только выполняя
проект своими силами без привлечения
консультантов.
Экспертные оценки минимаксного метода и методов Байеса - Лапласа и Сэвиджа
Приведенные в подпараграфе 2.8.1 простейшие критерии и стратегии принятия решений (2.8.1) (2.8.5) имеют ясное и логическое объяснение мотивов, которыми руководствуются лица, принимающие решения. Далее можно перейти к рассмотрению обобщенных классических критериев принятия решений. К ним относятся минимаксный критерий, критерий Байеса - Лапласа, критерий Сэвиджа, а также другие обобщения.
Минимаксный критерий и метод
Минимаксный критерий использует оценочную функцию (2.8.1, а), соответствующую пессимистической позиции, формализуемой соотношением
Справедливо соотношение
причем Zn„„ в (2.8.8) - оценочная функция минимаксного критерия.
Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием интерпретируется следующим образом. Матрица решений {ву} дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов еГ каждой строки. При принятии решения следует выбрать такие варианты Ею, строки которых соответствуют наибольшим значениям ег этого столбца. Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск, поскольку лицо, принимающее решение, ориентировано на пессимистическую позицию, что не позволяет получить худший результат. Вне зависимости от условий Fj результат выбора не может оказаться ниже 2.тт. Минимаксный критерий относится к числу фундаментальных, поскольку используется весьма часто. Применение минимаксного критерия оправдано в следующих ситуациях:
- 1) о возможности появления внешних состояний (условий) Б] ничего неизвестно (например, неизвестны вероятности появления состояний Р])щ,
- 2) приходится считаться с появлением различных внешних состояний Рр
- 3) решение реализуется только один раз;
- 4) необходимо исключить всякий риск (недопустимо получение результата ниже значения 2,„,„).
Критерий и метод Байеса - Лапласа
Для построения оценочной функции данного критерия используется априорная информация о вероятностях ц} появления внешних условий Ру Тем самым данная вероятностная модель учитывает каждое из возможных последствий. Пусть - вероятность появления внешнего состояния (условия) Ру Тогда критерий Байеса - Лапласа
соответствует множеству
Фактически в данном критерии в качестве оценочной функции выбирается математическое ожидание оценки, соответствующей у"-му варианту, причем усреднение происходит по множеству условий Г^.
Правило принятия решении (2.8.11)-(2.8.13) имеет вероятностную интерпретацию. При этом ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
- - вероятности появления состояний (условий) известны и не зависят от времени;
- - решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;
- - для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.
Позиция лица, принимающего решения на основе критерия Байеса - Лапласа, является более оптимистичной, чем по минимаксному критерию.
Критерий и метод Сэвиджа
Этот критерий основывается на предварительном преобразовании матрицы системных оценок в соответствии с соотношениями
Оценочная функция имеет вид
Множество оптимальных вариантов решения определяется соотношением
Смысл критерия (2.8.16) становится ясным после анализа соотношений (2.8.14)-(2.8.17).
Величины а =(тахе, еЛ, вычисляемые в соответствии
(2.8.14), можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если В состояний Fj вместо варианта £", выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния. Величины ay =(тахву е^) можно также интерпретировать и как потери (штрафы), возникающие в состоянии Fj при замене оптимального для него варианта
Тогда величина eir определенная равенством (2.8.12), представляет собой - при интерпретации йу как потерь - максимально возможные (по всем внешним состояниям Fj) потери в случае выбора варианта Ej. Согласно соотношениям (2.8.15), (2.8.17) максимально возможные потери минимизируются за счет выбора £;.
С точки зрения матрицы {еф критерий Сэвиджа связан с риском, однако с позиции матрицы {ау) он от риска свободен, поскольку использует стратегию минимаксного критерия.
Обобщенный минимаксный критерий и метод
Этот критерий использует расширение доли вероятностно заданной неопределенности. Предположим, что для каждого из возможных внешних состояний Fj определена вероятность его появления
Введем вероятность Р, применения г"-го варианта решения и будем предполагать возможность реализации т вариантов решения. Тогда среднее значение
где Р= (/>„ ...,/>,„), д = (
В реальной ситуации вектор ц неизвестен. В этом случае, ориентируясь на наименее выгодное распределение ц состояний Fj, можно добиться максимального увеличения е(Р, д) за счет выбора наиболее удачного распределения Р вариантов решения £;. Подобная стратегия соответствует расширенному минимаксному критерию, причем в данной ситуации реализуется игровая стратегия: состояния Fj минимизируют критерий, а варианты Е, его максимизируют. Общая формулировка данного расширенного минимального критерия имеет вид
где векторы Рид определены в (2.8.18).
Таким образом, цель расширенного минимаксного критерия - нахождение наилучшего распределения вероятностей на множестве вариантов Е, когда в многократно использовавшейся ситуации ничего не известно о вероятностных состояниях ^, относительно которых предполагается "невыгодное" распределение.
Производные критерии, оценки и принятие решений
Данный класс критериев позволяет рассматривать задачи принятия решения с обобщенных позиций, причем обобщение предполагает более полный учет априорно известных факторов, а также введение новых функциональных элементов.
Следует иметь в виду, что для интерпретации критериев можно воспользоваться идеями подпараграфа 2.8.1. В соответствии с подпараграфом 2.8.1 целесообразно свести рассмотренные производные (обобщенные) критерии в табл. 2.8.
Критерий Гурвица
Оценочная функция критерия Гурвица находится между точками предельного оптимума (С = 0) и крайнего пессимизма (С = 1). Характерно, что при С = 1 критерий Гурвица превращается в минимаксный критерий (см. подпараграф 2.8.1).
Критерий Ходжа - Лемана
Критерий основан на минимаксном критерии и критерии Байеса - Лапласа, характеризуется тем, что с помощью параметра в выражает степень доверия к используемому распределению вероятностей. При V = 1 критерий переходит в критерий Байеса - Лапласа, а при V = 0 - в минимаксный критерий. Ситуация, в которой рекомендовано применение этого критерия, характеризуется следующими условиями: вероятности появления состояний Е] неизвестны, но некоторые предположения о распределениях вероятностей возможны; принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций: при малых числах реализации допускается некоторый риск.
Критерий Ю. Б. Гермейера
Данный критерий ориентирован на оценочные функции, отражающие величину потерь, т.е. на отрицательные значения всех е-у матрицы оценок, применяется в хозяйственных задачах и ориентирован на цены и затраты. Смысл остальных параметров: <77 - вероятность условия Еу а ег - минимум математического ожидания затрат. В критерии Ю. Б. Гермейера допускается некоторый риск при принятии решения, а также должны быть известны вероятности Цр
Таблица 2.8.
Минимаксный критерий и метод Байеса - Лапласа
Метод позволяет лучше адаптироваться к ситуации за счет введения составных частей, логически унаследованных от других критериев (см. табл. 2.8). На первом этапе формирования критерия фиксируется опорное значение 2тт, задаваемое минимаксным критерием. Затем задается допустимый риск 5д0|| >0 и определяется множество согласия Величины £,-=£^0- ште^ё 1 характеризуют наиболее возможные потери в сравнении с е^. После этого формируется выигрышное множество /2. Множеству /] п ¡2 принадлежат варианты решений, для которых в определенных состояниях могут иметь потери по сравнению с состоянием, задаваемым минимаксным критерием, однако в других состояниях имеется, по меньшей мере, прирост выигрыша.
Таким образом, рассмотренные методы позволяют расширить классы методов, используемых для принятия решений в условиях неполной статистически заданной неопределенности на основе обработки таблиц экспертных оценок.
· .
максимизируется средний выигрыш статистика
· Показатель оптимальности стратегии - величина среднего риска.
За оптимальную стратегию принимается чистая стратегия , при которой минимизируется средний риск
Байесовское решение является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем. Такого рода оптимальность реально может проявить себя лишь при многократном проведении операции , когда среднее значение постепенно стабилизируется.
Применение критерия Байеса оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется признаками :
известны и не зависят от времени;
§ решение реализуется большое (теоретически бесконечное) число раз.
Пример 2 . Фирма купила станок за 100 ден. ед. Для его ремонта можно купить специальное оборудование за 50 ед. или обойтись старым оборудованием. Если станок выходит из строя, его ремонт с помощью спецоборудования обходится в 10 ед., без спецоборудования - в 40 ед.
Известно, что в течение срока эксплуатации станок выходит из строя не более трех раз: вероятность того, что станок не сломается - 0,3; сломается 1 раз - 0,4; сломается 2 раза - 0,2; сломается 3 раза - 0,1.
Требуется определить целесообразность приобретения специализированного ремонтного оборудования.
Формализация . Первый игрок имеет две чистые стратегии: покупать и не покупать специализированное ремонтное оборудование. У природы - второго игрока - четыре состояния: станок не выйдет из строя, выйдет один раз, сломается два раза и три раза. Функция выигрыша - затраты фирмы на покупку и ремонт станка, задается платежной матрицей:
| Выход станка из строя | |||||
| Ремонтное оборудование | ни разу | 1 раз | 2 раза | 3 раза | |
| не купить | -100 | -140 | -180 | -220 | |
| купить | -150 | -160 | -170 | -180 | |
Решение.
Рассмотрим сначала эту задачу как антагонистическую игру .
В матрице методом минимакса находим седловую точку: (2,4), таким образом, x* = (0, 1), y* = (0, 0, 0, 1), цена игры v* = - 180 ден. ед.
Ответ : нужно купить специализированное оборудование.
Однако в играх с природой положение коренным образом меняется: уже в условии заложена устойчивая смешанная стратегия природы: у = (0,3; 0,4; 0,2; 0,1) и мы знаем, что именно этой стратегии придерживается природа. Запишем эти вероятности внизу платежной матрицы.
| Выход станка из строя | |||||
| Ремонтное оборудование | ни разу | 1 раз | 2 раза | 3 раза | |
| не купить | -100 | -140 | -180 | -220 | |
| купить | -150 | -160 | -170 | -180 | |
Вероятности 0,3 0,4 0,2 0,1
Если же человек - первый игрок - будет продолжать играть оптимально (применит вторую стратегию «купить»), то его выигрыш составит
v(x*) = - 150 0,3 - 160 0,4 - 170 0,2 - 180 0,1 = - 161;
а если применит первую, неоптимальную стратегию, то математическое ожидание его выигрыша составит
v(x") = - 100 0,3 - 140 0,4 - 180 0,2 - 220 0,1 = - 144 .
Таким образом, первому игроку выгодно играть неоптимально!
Ответ : не покупать специализированное оборудование.
Существенное различие между значениями v(x*) и v(x") объясняется тем, что смешанная стратегия природы неоптимальна и она, "отклоняясь" от своей оптимальной стратегии, «недополучает» 36 ден. единиц выигрыша.
3.2. Критерий Лапласа недостаточного основания – «ориентируйся на среднее»
Если состояния
природы в равной мере правдоподобны, то их полагают равновероятными, т.е. 
.
· Показатель оптимальности стратегии - величина среднего выигрыша .
Оптимальной считается чистая стратегия , обеспечивающая максимум среднего выигрыша при одинаковых априорных вероятностях:
. (6)
Применение критерия Лапласа оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется признаками :
§ вероятности состояний природы неизвестны, не зависят от времени и равны;
§ решение реализуется большое (теоретически бесконечное) число раз;
§ для небольшого числа реализаций допускается некоторый неоцениваемый риск .
Пример 3.
Найти оптимальное решение статистической игры, заданной платежной матрицей 
, применяя критерий Лапласа, считая, что состояния природы равновозможны, т.е. 
.
Решение
Найдем средние выигрыши статистика :
Найдем наибольший средний выигрыш
: 
.
Значит, по критерию Лапласа оптимальной стратегией статистика, который считает состояния природы равновозможными, будет чистая стратегия .
Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.
Контрольные вопросы
1. Перечислите источники неопределенности и риска.
2. Дайте классификацию решений, принимаемых в различных условиях.
3. Назовите несколько определений риска.
4. По каким признакам классифицируются риски?
5. Что значит «управлять риском»?
6. Перечислите правила, с помощью которых проводится выбор способа управления риском и варианта решения.
7. Что понимается под качественной и количественной оценками риска?
8. Что понимается под играми с природой?
9. Какие критерии применяются для выбора оптимальной стратегии в условиях риска?
10. Как найти средний выигрыш игрока при известных вероятностях стратегий и при неизвестных вероятностях?
11. Поясните принципы использования моделей теории игр в экономических задачах в условиях неопределенности (игры с природой).
12. Что понимается под риском игрока?
13. Как найти элементы матрицы рисков? Что показывают эти величины?
14. Когда пользуются критериями Байеса и Лапласа? Опишите правила выбора оптимальной стратегии статистика с применением этих критериев. Что показывают вероятности в этих критериях?
Если при принятии решения ОПР известны вероятности Рj состояний Пj, то будем считать, что рассматривается ситуация в условиях частичной неопределенности.
Игрок принимает i-то решение (использовать стратегию Аi) в условиях частичной неопределенности. Он ожидает получить доход aij при реализации состояния Пj, который является случайной величиной Qi с рядом распределения, представленных в табл. 3.9.
Таблица 3.9. Ряд распределения случайной величины Qi
В этом случае для принятия решения можно использовать один из следующих критериев.
Критерий Байеса
Это критерий максимизации среднего ожидаемого дохода. Критерий Байеса называется также критерию максимума среднего выигрыша.
Как известно, математическое ожидание М (Qi) случайной величины Qi представляет собой средний ожидаемый доход, который сказывается также Qi можно найти по формуле (3.21):
Для каждой стратегии Аi (i-го варианта решения) следует рассчитать средний ожидаемый доход (математическое ожидание) по формуле (3.21), и в соответствии с критерием Байеса следует выбирать вариант (стратегию Аi), для которого достигается наибольшее значение:
Критерий Байеса используют в ситуации, в которой принимается решение, задовальняе следующим условиям:
вероятность появления состояния Пj известна и не зависит от времени; принято решение теоретически допускает бесконечную большое количество реализаций;
допускается некоторый риск при малых числах реализаций.
варианте решения достигается наибольший средний доход и какова величина этого дохода.
Решение. Запишем матрицу выигрышей с дополнительным строкой с вероятностями состояний Пj в виде таблицы 3.10.
Таблица 3.10. Матрица выигрышей игры
Найдем для каждой стратегии Аi средний ожидаемый доход по формуле (3.21):
При применении стратегии Аи ОПР может получить доход, который отличается от максимального, что и принимается за величину риска. Риск случайной величиной Ri с рядом распределения, который приведен в табл. 3.11.
Таблица 3.11. Ряд распределения случайной величины Ri
Для каждой стратегии Аi (i-го варианта решения) следует рассчитать средний ожидаемый риск (математическое ожидание) по формуле (3.23), и в соответствии с критерием Байеса следует выбирать вариант, для которого достигается наименьшее значение:
В этом случае критерий Байеса выступает как критерий минимизации среднего ожидаемого риска. Критерий Байеса можно назвать как критерий минимума среднего проигрыша.
Пример 3.9. Для выходных данных примера 3.8 на основе матрицы рисков по критерию Байеса выяснить, при каком варианте решения достигается наименьший средний риск и какова величина этого риска.
Разгрузка Обязательства. Запишем матрицу рисков игры с дополнительным строкой с вероятностями состояний Пи в виде таблицы 3.12.
Таблица 3.12. Матрица рисков игры
Найдем для каждой стратегии Аi средний ожидаемый риск по формуле (3.23):
Критерий Бернулли-Лапласа
Критерий Бернулли-Лапласа используют в случае, когда можно предположить, что любой из вариантов среды не более вероятен, чем другой. Здесь предполагается, что все состояния среды (все варианты реальной ситуации) равновероятны.
Для каждой стратегии Аи (и го варианта решения) следует рассчитать средний ожидаемый доход (математическое ожидание) по формуле (3.25), и в соответствии с критерием Бернулли-Лапласа следует выбирать вариант (стратегию Аi), для которого достигается наибольшее значение:
Пример 3.10. Пусть для игры, которую задано матрицей выигрышей в примере 3.2, ОПР считает ровно вероятными все состояние природы
выяснить при каком варианте решения достигается наибольший средний доход и какова величина этого дохода.
Решение. Запишем матрицу выигрышей с дополнительным строкой с вероятностями состояний Пj в виде таблицы 3.13.
Таблица 3.13
Найдем для каждой стратегии Аi средний ожидаемый доход по формуле (3.25):
Рассмотрим риск как случайную величину Ri с рядом распределения, который приведен в табл. 3.14.
Таблица 3.14. Ряд распределения случайной величины Ri
Математическое ожидание М (Ri) случайной величины Ri представляет собой средний ожидаемый риск, что вычисляется по формуле (3.27)
Для каждой стратегии Аi (i-го варианта решения) следует рассчитать средний ожидаемый риск (математическое ожидание) по формуле (3.27), и в соответствии с критерием Бернулли-Лапласа следует выбирать стратегию (вариант), для которой достигается наименьшее значение:
Пример 3.11. Для выходных данных примера 3.10 на основе матрицы рисков по критерию Бернулли-Лапласа выяснить, при каком варианте решения достигается наименьший средний риск и какова величина этого риска.
Решение. Запишем матрицу рисков игры с дополнительным строкой с вероятностями состояний Пj в виде таблицы 3.15.
Таблица 3.15. Матрица рисков игры
Найдем для каждой стратегии Аi средний ожидаемый риск по формуле (3.27):
Следует отметить, что критерий Бернулли-Лапласа непосредственно не относится к случаю частичной неопределенности, и его применяют в условиях полной неопределенности.
